Wahrscheinlichkeitsrechnung Rechenaufgabe

[double_d]

Wann Du ne weiße oder ne blaue ziehst, ist wirklich Wumpe.

Aber wenn Du ne Blaue gezogen hast, musst Du auch direkt im Anschluß ne Blaue ziehen.

Und ganz wichtig: Du kannst nicht einfach die Wahrscheinlichkeiten der anderen Kugeln ausser acht lassen.

 

Für Dich gibts irgendwie nur 2 die gezogen werden müssen. Das stimmt nicht ! Es werden 32 gezogen.

 

Ich denke, da ist unser Verständnisproblem. Es ist nach 2 Kugeln nicht schluß.

 

Lös Dich mal von den Kugeln.

Nimm nen Raum mit 16 Stuhlpaaren und 32 Menschen, die sich nicht kennen.

Jetzt wettest Du mit mir, dass sich von den 32 Menschen genau Klaus und Heinz nebeneinander auf ein Stuhlpaar setzen.

Alle anderen müssen sich aber auch setzen und Du kennst die Reihenfolge nicht, willst sie aber bestimmen.

 

Von daher sind die anderen 15 Kombinationen nicht zu unterschlagen. Man muss sie mitrechnen.

Und man errechnet damit nicht die Möglichkeiten, die es gibt, wie und wo sich 2 Leute nebeneinander setzen,

sondern wie wahrscheinlich es ist, dass sich von 32 Menschen genau diese 2 nebeneinander setzen.

Die Wahrscheinlichkeit ist etwas anderes, als die Kombinationsmöglichkeit.

 

Um genau eine Paarung hinzubekommen, musst Du die Leute 32² = 1024mal in den Raum gehen lassen und jeder muss

sich immer auf einen anderen Stuhl setzen, auf dem er noch nicht gesessen hat !

Aber die Wahrscheinlichkeit, dass sich Klaus und Heinz genau beim ersten mal (und man hat bei der Ziehung nur einen Versuch)

zusammensetzen ist sehr gering !

 

Aber jetzt ist auch gut, denke ich.

Wolltest Du da nochmal jemanden fragen oder so ?

 

Würd mich wirklich interessieren.

 

Guts Nächtle !

[leo67]

Wolltest Du da nochmal jemanden fragen oder so ?

 

Würd mich wirklich interessieren.

 

Guts Nächtle !

mein alter Mathe Prof. müßte mir heute über den Weg laufen, der weiss das eigentlich wie aus der Pistole geschossen und konnte mich auch meist immer wieder von den unmöglichen Möglichkeiten des Faches Mathe überzeugen ..... die ich aber bis heute manchmal nicht so richtig verstehen konnte, allein sein Sachverstand sagt mir, das das dann doch so sein muss, wie er sagt.

[KurTeWCS]

Ihr seid ja mal echt krass...

 

ich verstehe nur Bahnhof :-D

 

 

Weitere Frage, angenommen die Paarungen der 1. und der 2. Runde sind ausgelost, also erste Runde Team 26 - Team 4 und zweite Runde Sieger aus Team 26 - Team 4 gegen Sieger aus Team 7 - Team 25 (also keine Chance in den ersten beiden Runden auf das Team 86 zu treffen), wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit in Runde 3 gegen das Team 86 zu spielen?

[double_d]

Ihr seid ja mal echt krass...

 

ich verstehe nur Bahnhof :-D

 

 

Weitere Frage, angenommen die Paarungen der 1. und der 2. Runde sind ausgelost, also erste Runde Team 26 - Team 4 und zweite Runde Sieger aus Team 26 - Team 4 gegen Sieger aus Team 7 - Team 25 (also keine Chance in den ersten beiden Runden auf das Team 86 zu treffen), wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit in Runde 3 gegen das Team 86 zu spielen?

 

Durch Auslosung ?

Das steht oben ! Also zumindest glaub ich ja, dass es die Lösung ist ! Warten wir auf den Matheprof !

 

Nach der Produktregel sieht das dann so aus:

 

32/32 * 1/31 * 30/30 *......* 1/3

 

auf nem Bruchstrich

 

32*1*30*1*28*...*1

___________________

 

31*29*27*25*....*2

 

=5,21108E-18

 

0,0000000000000005%

 

Voraussetzung, dass beide ihr Spiel in Runde 2 gewinnen.

[leo67]

ist weniger wie 1:50000

die erste Runde stehen bei 25,6% das die beiden weiterkommen und die 2. bei 24,nochwas%, die musste multiplizieren wie mit der dritten, die dritte ist die spannenste aber es werden keine 1: 50.000

hab jetzt grad wenig Zeit, aber Lösung mit Weg kommt sicherlich noch heute spät abend

Prof. ist auf Urlaub, aber ein doch sehr kompetenter Hiwi hat mir auf die Sprünge geholfen.

 

Achso wenn Klaus und Heinz sich nicht kennen, setzen die sich laut Wahrscheinlichkeit mindestens nach 496 Versuchen einmal zusammen auf die vordersten Plätze eins und zwei. bei 32 Leuten und 32 Stühlen, ausser sie sind ein wenig ängstlich.

[double_d]

Achso wenn Klaus und Heinz sich nicht kennen, setzen die sich laut Wahrscheinlichkeit mindestens nach 496 Versuchen einmal zusammen auf die vordersten Plätze eins und zwei. bei 32 Leuten und 32 Stühlen, ausser sie sind ein wenig ängstlich.

 

Nein falsch. Es gibt 496 Kombinationsmöglichkeiten wie 2 Leute aus 32 sich auf 2 Stühle zusammensetzen können. Einmal sind auch Klaus und Heinz dabei, richtig !

Aber es gibt 32² = 1024 Möglichkeiten, wie sich 32 Leute auf 32 Stühle verteilen, so dass mindestens einmal die Kombi Heinz und Klaus auf einem Stuhlpaar dabei sind.

 

Das sind zwei völlig unterschiedliche Dinge !

 

Und wenn sich Klaus und Heinz dann noch auf Stuhl 1 und 2 setzen sollen, dann sind wir wieder bei einem Prozentsatz mit 15 Nullen hinter dem Komma,

weil Du da neben der Wahrscheinlichkeit, dass sich die beiden überhaupt zusammen setzen auch noch die Reihenfolge vorhersagen willst, wann und wo

sie sich setzen.

 

Eigentlich ist das doch nicht so schwer.

Vielleicht fällt mir ja noch ein praktikableres Beispiel ein, wo man auf Anhieb sieht, dass es erhebliche Unterschiede dabei gibt !

Ich überleg mal noch nen bischen !!!

[double_d]

So, jetzt versuche ich das nochmal deutlich zu machen mit kleineren Zahlen, so dass man es auch aufschreiben kann.

 

Folgendes Scenario:

Wir haben 6 Kugeln in einer Urne bedruckt mit den Zahlen 1 bis 6

 

Erste Aufgabenstellung:

Wieviele zweistellige Zahlen ohne Wiederholung lassen sich mit Ziehen von jeweils 2 Kugeln daraus bilden ?

 

Lösung:

6² = 36

 

Warum ? Weil es berechnet wird nach dem Muster "Ziehen mit Zurücklegen"

Ich ziehe als erstes z.B. die Kugel mit der Nr. 1

Die Zahl notiere ich und stecke die Kugel wieder in die Urne.

Als zweites ziehe ich wieder die 1. Daraus ergibt sich dann beim notieren die Zahl 11 !

Kugel wieder zurück usw., wobei ein weiteres Mal die Zahl 11 nicht notiert wird.

 

Mögliche Kombinationen:

 

11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,41,42,43,44,45,46,51,52,53

,54,55,56,61,62,63,64,65,66

 

Zweite Aufgabenstellung:

Wieviele Kombinationsmöglichkeiten von Zahlen ergeben sich durch Ziehen von 2 Kugeln ?

 

Lösung:

15

 

Warum ? Weil es berechnet wird, nach dem Muster "Ziehen ohne Zurücklegen - ohne Reihenfolge"

Ich ziehe als erstes z.B. die Kugel mit der Nr. 1

Die Kugel lasse ich draussen liegen und ziehe eine Zweite.

Die daraus entstandene zweistellige Zahl notiere ich und gebe erst dann die beiden Kugeln wieder in die Urne zurück

um erneut 2 Kugeln zu ziehen.

Hierbei fallen logischerweise alle doppelzahligen Kombinationen weg.

Es gibt also keine 11,22,33,44,55,66

 

Mögliche Kombinationen:

1-2,1-3,1-4,1-5,1-6,2-3,2-4,2-5,2-6,3-4,3-5,3-6,4-5,4-6

 

Hierbei ist zu berücksichtigen, dass ich sowohl die 1 und anschließend die 2, als auch zuerst die 2 und anschließend die 1 ziehen kann,

um die Kombination 1-2 zu bekommen. Nix anderes ist Lotto "6 aus 49"

 

Berechnet wird das Ganze so:

6! / 2!*(6-2)!

 

= 720 / 2*24

 

= 720 / 48

 

= 15

 

 

So. Und nun kommen wir zu der eigentlichen Aufgabe. Nämlich die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass beim Ziehen von allen 6 Kugeln eine bestimmte

2er-Kombination gezogen wird.

 

Wir wissen, es gibt nur 15 mögliche 2er Kombis. Bedeutet aber überhaupt nix. Würden nur 2 Kugeln gezogen, dann müsste dieser Vorgang also

15mal wiederholt werden um diese eine bestimmte Kombi zu bekommen. Tatsächlich sind bei einer Urnenauslosung mit 6 Kugeln aber nur 3 Kombis möglich,

weil ich zwar die gezogenen Kugeln wieder hineintue, aber eine erneut gezogene Kugel nicht mehr notiert wird.

Damit reduziert sich die Kombimöglichkeit auf 3 !

 

Bildlich vorstellen könnte man sich das folgendermaßen:

Der Juror steht vor der Urne und zieht Kugel Nr.3 und anschließend Kugel Nr. 6

Kombi daraus wäre 3-6 oder 6-3. Völlig egal.

Nun tut er beide Kugeln wieder zurück und zieht Kugel Nr. 2 und Kugel Nr. 1

Kombi wäre 1-2 oder 2-1.

Damit wären die Nummern 1,2,3 und 6 bereits gezogen und dürfen nicht nochmal gezogen werden.

Bleibt also nur noch die Nr. 4 und 5 übrig !

 

Ich hoffe man erkennt hierbei schon, dass sich daraus keine Wahrscheinlichkeit errechnet, ob eine bestimmte Kombi gezogen wird,

denn diese eine bestimmte Kombi wird vielleicht gar nicht gezogen. Ziehe ich die 3 und die 6 und anschließend die 2 und die 1 sind die Kombis

aus 1-3, 1-6 und 6-2 nicht mehr möglich !

 

Also hat es mit dem Verhältnis zwischen Kombinationsmöglichkeiten und der Wahrscheinlichkeit zu tun, ob bei diesem Ziehungsvorgang

exakt eine bestimmte Kombination gezogen wird. Je weniger Kombinationsmöglichkeiten ich habe, umso unwahrscheinlicher wird es, dass

eine bestimmte Kombi gezogen wird.

Je mehr Kugeln ich aus der Urne ziehe, umso wahrscheinlicher, dass die nächste Kugel eine meiner Voraussage ist, umso unwahrscheinlicher,

dass die übernächste die zweite Kugel aus meiner Voraussage ist !

 

Die Berechnung daraus macht man unter Bezugnahme zum "Ziehen ohne Zurücklegen - mit Reihenfolge"

 

Erste Kugel - Wahrscheinlichkeit 1 = 6 günstige Ereignisse und 6 Möglichkeiten

Zweite Kugel (und jetzt muss es eine bestimmte sein, nämlich entweder die, die ich will, weil die erste Kugel schon Teil meiner Voraussage war,

oder eben genau diese nicht, weil die erste Kugel nicht zu meiner Voraussage gehörte) - 1/5 = 1 günstiges Ereignis und 5 Möglichkeiten.

Und dieses eine günstige Ereignis umfasst entweder genau die eine Kugel oder alle anderen.

Es ist günstig diese eine bestimmte zu ziehen, wenn ich bereits die andere bei der ersten Ziehung getroffen habe, oder es ist günstig eine x-beliebig

andere zu ziehen, wenn bei der ersten Ziehung keine der vorausgesagten Kugeln gezogen wurde.

Insgesamt ist es aber nur 1 günstiges Ereignis. Deshalb eben 1/5 !!!!

 

Und so weiter.

 

Das wird dann multipliziert (Produktregel) und dann kommt eben meine Berechnung da raus !

 

(6/6)*(1/5)*(4/4)*(1/3)*(2/2)

 

= 1/15

=0,066

=6,6%

 

Bei nur 6 Kugeln läge die Wahrscheinlichkeit nur bei 6,6% eine ganz bestimmte Kombi zu ziehen.

Bei 8 Kugeln läge sie allerdings nur bei 0,95%.

Und nu schau wo sie bei 32 Kugeln liegt !!!!

 

 

Ich hoffe jetzt wirklich, dass nach 2 Tagen Erklärung es einigermaßen rübergekommen ist.

[bin4ry]

double_d müsste recht haben . will jetzt nicht auch nochmal alles aufschreiben, aber das ganze müsste genauso berechnet werden.

hatten wir letzen nochmal in der grundlagen theoretische physik vorlesung wiederholt weils keiner mehr so recht wusste

 

mfg

bin4ry

[leo67]

gut ich schreib nix mehr auf, ihr habt recht und gut, kann ich mir die Arbeit sparen

schaut euch noch Klick und klack an und berechnet mir bitte mal die Wahrscheinlichkeit, wenn ich aus einem Lostopf mit 32 Kugeln in dem 2 Kugeln eine andere Farbe haben, 2 ziehe wie gross die ist, genau am Anfang zwei andersfarbige nacheinander zu ziehen.

 

PS: ich glaub in Rom sitzen heut noch Leute die genau wissen das die Sonne um die Erde kreist, alles eben nur eine Ansichtssache vielleicht bin ich ja sogar einer von denen.

 

Im Pokal zieht man übrigens aus einer Urne Kugeln und die ersten beiden spielen nun mal gegeneinander, und ich frage wie gesagt nur nach der Wahrscheinlichkeit diese beiden Kugeln als erstes hintereinander rauszufischen, die könnte es wie gesagt noch bei der 3. Paarung geben.

 

und du musst davon wegkommen alle Spiele korrekt vorherzusagen, da ist die Wahrscheinlichkeit geringer, beim Viertelfinale wären es 1/105 (bei insgesamt 8 Mannschaften) aber ich will nur eine Paarung korrekt voraussagen, da interessiert es keinen ob zusätzlich noch Anja neben Klaus sitzt.

[double_d]

...und berechnet mir bitte mal die Wahrscheinlichkeit, wenn ich aus einem Lostopf mit 32 Kugeln in dem 2 Kugeln eine andere Farbe haben, 2 ziehe wie gross die ist, genau am Anfang zwei andersfarbige nacheinander zu ziehen.

 

Das haben wir doch jetzt schon zu Genüge besprochen, dass genau diese Wahrscheinlichkeit auch richtig ist !

Da sag ich doch auch nix. Da hast Du recht.

 

Aber so kannst Du bei der Auslosung nicht vorgehen. Da machst Du einen Gedankenfehler.

Das Schwierige bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist letztlich nicht die Berechnung selber, sondern die Auswahl,

welche Berechnung ich anwenden muss.

 

Ich schreib das jetzt auch nicht nochmal auf (steht hier schon paarmal ), aber bitte bitte bitte.....überlege doch mal, was aus der Urne gezogen wird.

 

Es werden nicht nur 2 Kugeln gezogen wie beim Lotto (wo es natürlich 6 sind), es werden nacheinander alle 32 gezogen.

 

Deine Berechnung kommt voll zum Tragen, wenn aus 32 Mannschaften lediglich 2 ermittelt werden, die gegeneinander spielen sollen.

Alle anderen würden dann direkt nach hause fahren. Ob diese Kugeln/Mannschaften dann mit einem Griff oder nacheinander gezogen

werden, ist egal. Da stimmt dann Deine Wahrscheinlichkeit. Aber hier werden alle 32 gezogen und es ist nicht egal, ob sie mit einem

Griff oder nacheinander gezogen werden. Sie müssen nacheinander gezogen werden. Und dabei spielt die Reihenfolge der Ziehung eine Rolle,

denn die willst Du voraussagen. Nicht jede....aber zumindest irgendwo während der Ziehung, dass nach der 26 die 86 gezogen wird, oder

nach der 86 die 26. Das bedingt aber, dass bei jedem Zug eine Reihenfolge eingehalten werden und schließlich auch berechnet werden muss.

 

Damit dieser Bezug zum Lotto wegfällt oder zumindest klar wird, dass wir bei den Mannschaften nicht "2 aus 32" spielen, doch noch ein Beispiel.

6 Kugeln aus 49. Egal ob mit einem Griff oder nacheinander....Wahrscheinlichkeit 1:14 Millionen ! (Berechnung steht oben irgendwo)

 

Nun zieh alle 49 Kugeln nacheinander. Ob die dann einzeln vor Dir liegen oder immer 2 Kugeln nacheinander nen Paar bilden ist wumpe.

Kann man nachher auch abzählen. Wie Wahrscheinlich ist es, dass Du die Reihenfolge in der die Kugeln gezogen werden voraussagen kannst ????

 

Genau da liegt Dein Gedankenfehler. Du spielst eben die ganze Zeit nur "2 aus 32" und nicht "49 aus 49" mit Ansage der Reihenfolge,

wobei Du nicht alle Kugeln voraussagst, sondern eben nur jede Zweite. Aber das gehört halt in die Berechnung der Wahrscheinlichkeit,

dass es so eintrifft mit rein....Wir berechnen ja grad nicht die Möglichkeiten, sondern die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis

so eintrifft !

 

1. Kugel weiß - Deine Voraussage - nächste Kugel auch weiß

3. Kugel weiß - Deine Voraussage - nächste Kugel auch weiß

5. Kugel blau - Deine Voraussage - nächste Kugel auch blau

 

Ich will Dir doch gar nix....

[leo67]

Mal ein wenig einfacher, wieviel mögliche Partien kannst du aus 32 Mannschaften zusammenbasteln?

vielleicht kommen wir uns da näher, wann die gezogen werden, wäre da eher zweitrangig.

[leo67]

.....

Runde 1: 126 Mannschaften, davon kommen 2 mit Freilose weiter, damit es 64 Paarungen gibt. 2 Mannschaften gewinnen kampflos das Spiel mit den Freilosen. Ergibt also gesamt 64 Sieger, die in der 2. Runde wieder in einer KO Runde aufeinandertreffen. Bleiben 32 Sieger, die in Runde 3 kommen.

 

Angenommen, jede Mannschaft sei gleichstark, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, auf eine vorher bestimmte Mannschaft in Runde 3 zu treffen? Kann man das überhaupt rechnen? Also ich bin Team 26 und wette darauf, dass diese Mannschaft in Runde 3 auf Team 86 trifft.

.....

also hier noch einmal zusammengefasst

 

aus den 126 Mannschaften willst du auf Team 26 gegen Team 86 egal wer Heimrecht hat, in der 3 runde tippen. Team 26 und Team 86 bekommen die Farbe blau als Kugel alle anderen sind weiss.

 

Runde 1

 

Gesamtanzahl der Kugeln N = 126

Anzahl mit der Eigenschaft "blau" M = 2

Umfang n = 64

davon Anteil blau x = 2

 

Runde 2

 

Gesamtanzahl der Kugeln N = 64

Anzahl mit der Eigenschaft "blau" M = 2

Umfang n = 32

davon Anteil blau x = 2

 

Runde 3 nur Auslosung

 

du ziehst richtigerweise 32 kugel nacheinander aus dem Topf.

entscheidend sind für dich immer die aufeinanderfolgenden zweierpaarungen

 

mit dem Baumdiagramm sieht das ungefähr so aus, es gibt bei 32 Mannschaften insgesamt als erstes Ziehungsergebnis 496 Möglichkeiten, das wäre die erste Ebene, da stehen z.B. 493 mal ww 2 mal bw und einmal bb

es wird insgesamt 16 mal gezogen alle Stränge in den 16 Ebenen mit komplett nur ww und nur bw haben sind uninteressant für uns, in der ersten Ebene fällt der eine bb raus weil dafür die Wahrscheinlichkeit 1:496 ist, danach kommt nur noch weiss, jetzt gibt es nur noch 15 verschiedene Varianten bb zu ziehen von Ebene 2 bis 16 also sind oben in der ersten Ebene noch 15 verschiedene Bäume nach unten interessant,

alle verschachtelten Stränge die von bb nach unten gehen, das sind unten ankommend haben das Ergebnis positiv hinsichtlich der einen Paarung bb

jetzt gibt es in Ebene 2 eine Möglichkeit bb aus den Strängen ww zu ziehen der Strang bis runter zählt dann auch zu den positiven Ergebnissen bezüglich bb

in der nächsten Ebene gibt es einen Strang der von ww und ww zu bb wird alle nach unten ankommenden Stränge sind auch positiv ...das zieht sich hin bis Ebene 16 so kommst du auf eine Wahrscheinlichkeit von 1:248,003, kannste auch anders nachrechnen ich wollte das nur anschaulich darstellen.

 

jetzt multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten und bekommst die "wahrscheinliche" Endwahrscheinlichkeit raus. Und die ist 1: 3938

 

Das alles nur auf obígen Angaben, also nur die obigen Aussagen treffen zu, da ja jetzt schon klar ist das die Mannschaften angeblich weiterkommen und nur in Runde 3 aufeinandertreffen können, ist da die Wahrscheinlichkeit bei 1 : 248, das sie so gezogen werden.

 

Tut mir leid das ich jetzt mal so lang geschrieben habe, ich hoffe aber da ist mehr drin als in den vorherigen langen posts.